Τρίτη, 18 Νοεμβρίου 2008

Απλά προβλήματα (Γυμνασιακού επιπέδου)

Για να δημιουργηθεί ένα πρόβλημα δεν είναι αναγκαίο να χρησιμοποιήσει κάποιος δύσκολες πράξεις. Oι απλές πράξεις της αριθμητικής είναι αρκετές. Για την επίλυση των διαφόρων προβλημάτων χρειάζεται μεθοδική σκέψη.

Επειδή πιστεύουμε ότι όσα πιο πολλά προβλήματα λύνει κάποιος, τόσο πιο εύκολο είναι να λύσει κι άλλα, δίνουμε εδώ μερικά είδη προβλημάτων με την επίλυσή τους. Δοκιμάστε να τα λύσετε πριν διαβάσετε την λύση που ακολουθεί.


Πρόβλημα 02 : Μοιράζουμε δυό γαϊδουριών άχυρο;

Έχουμε δέκα κιλά άχυρο να το μοιράσουμε σε δυό γαϊδούρια που το ένα πρέπει να φάει ένα κιλό περισσότερο από το άλλο. Πόσα κιλά άχυρο θα δώσουμε στο καθένα γαϊδούρι;

Απρόσεκτη σκέψη : Πολλοί άνθρωποι απαντούν αμέσως έξι και τέσσερα, που δεν είναι η σωστή απάντηση.

Σωστή επίλυση : Δίνουμε ένα κιλό άχυρο στο γαϊδούρι που πρέπει να φάει περισσότερο.
Χωρίζουμε τα υπόλοιπα 10-1=9 κιλά στην μέση και δίνουμε από 9/2=4.5 κιλά άχυρο στα δυό γαϊδούρια. Έτσι, το ένα γαϊδούρι θα φάει συνολικά 1+4.5=5.5 κιλά άχυρο και το άλλο 4.5 κιλά άχυρο.


Πρόβλημα 03 : Το θέλετε με σαλιγκάρι ή με ναυαγό;

Α) Ένα σαλιγκάρι ανεβαίνει σε μια κολόνα ύψους δέκα μέτρων. Την νύχτα ανεβαίνει τρία μέτρα, την ημέρα ξεκουράζεται αλλά γλιστράει δύο μέτρα κάτω. Σε πόσες μέρες θα φθάσει στην κορυφή της κολόνας;

Απρόσεκτη σκέψη : Ανεβαίνει 3-2=1 μέτρο ανά 24ωρο, άρα θα χρειαστεί 10/1=10 εικοσιτετράωρα.

Σωστή επίλυση : Αφαιρούμε τα 3 μέτρα της τελευταίας νύχτας από τα 10. Μένουν 10-3=7 μέτρα.
Κάθε 24ωρο ανεβαίνει 1 μέτρο. Θα χρειαστεί 7/1=7 εικοσιτετράωρα για να καλύψει την απόσταση των 7 μέτρων. Την επόμενη νύχτα θα ανέβει 3 μέτρα, όπως κάθε νύχτα, θα φτάσει (7+3=10) στην κορυφή και θα είναι εκεί το πρωί της όγδοης μέρας (και βέβαια δεν θα γλιστρήσει!).

Β) Ένας ναυαγός βρίσκεται είκοσι μίλια από την στεριά. Την ημέρα κολυμπάει έξι μίλια προς την σωτηρία σέρνοντας ένα κομμάτι ξύλο που επιπλέει με λιγοστά τρόφιμα και την νύχτα κοιμάται πάνω σε αυτό, αλλά τότε τα θαλάσσια ρεύματα τον τραβάνε τέσσερα μίλια προς τα ανοιχτά. Σε πόσες μέρες θα φτάσει στην ακτή;

Απρόσεκτη σκέψη : Κολυμπάει 6-4=2 μίλια το 24ωρο, άρα θα χρειαστεί 20/2=10 εικοσιτετράωρα.

Σωστή επίλυση : Αφαιρούμε τα 6 μίλια της τελευταίας μέρας από τα 20. Μένουν 20-6=14 μίλια.
Κάθε 24ωρο πλησιάζει 2 μίλια στην ακτή. Θα χρειαστεί 14/2=7 εικοσιτετράωρα για να καλύψει την απόσταση των 14 μιλίων. Την επόμενη μέρα θα κολυμπήσει έξι μίλια και θα φτάσει στην ακτή, άρα θα είναι εκεί το βράδι της 8ης ημέρας (και βέβαια δεν θα ξαναπέσει στην θάλασσα!).


Πρόβλημα 04 : Πότε γεμίζει η δεξαμενή;

Έχουμε δυό βρύσες σε μια δεξαμενή νερού. Η βρύση Α την γεμίζει σε έξι ώρες. Η βρύση Β έχει μεγαλύτερη παροχή νερού και την γεμίζει σε τέσσερις ώρες. (Όταν οι βρύσες ανοίγουν εννοείται ότι δίνουν αμέσως και συνεχώς την μέγιστη παροχή νερού).
Ανοίγουμε την βρύση Α στις 09:00 το πρωί.
Στις 10:30 αποφασίζουμε να ανοίξουμε και την βρύση Β.
Ποια ώρα πρέπει να κλείσουμε τις βρύσες, ώστε να είναι γεμάτη κατά 75% η δεξαμενή;
(Το διατύπωσα ώστε να φαίνεται δύσκολο, αλλά σημασία είπαμε ότι έχει η μεθοδική σκέψη!)

Επίλυση : Η βρύση Α γεμίζει την δεξαμενή σε 6 ώρες, άρα σε μία ώρα γεμίζει το 1/6 της δεξαμενής.
Η μία ώρα έχει 60 λεπτά και οι 6 ώρες έχουν 60*6=360 λεπτά.
Ξανά : Η βρύση Α γεμίζει την δεξαμενή σε 360 λεπτά, άρα σε ένα λεπτό γεμίζει το 1/360 της δεξαμενής.
(Με άλλο τρόπο : την ώρα (60 λεπτά) γεμίζει το 1/6, άρα το λεπτό γεμίζει το (1/6)/60=1/(6*60)=1/360 της δεξαμενής).

Τρέχοντας η βρύση Α επί (10:30)-(09:00)=90 λεπτά θα γεμίσει το 90*(1/360)=90/360=1/4 της δεξαμενής. (Επαλήθευση : Σε 6 ώρες ολόκληρη, άρα σε (6/4=1.5) μιάμιση ώρα το 1/4 της δεξαμενής).

Η βρύση Β γεμίζει την δεξαμενή σε 4 ώρες (=240 λεπτά). Σε μία ώρα (=60 λεπτά) γεμίζει το 1/4 της δεξαμενής. Σε ένα λεπτό γεμίζει το 1/240 της δεξαμενής. (Απλούστατο!)

Τρέχοντας μαζί οι δυό βρύσες κάθε λεπτό γεμίζουν το (1/360)+(1/240)=1/144 της δεξαμενής. Ή (αν άνοιγαν μαζί) θα την γέμιζαν σε 144 λεπτά (=2 ώρες και 24 λεπτά).

Στο πρόβλημά μας δεν θέλουμε να γεμίσουμε ολόκληρη (τα 100/100) την δεξαμενή, αλλά τα 75/100 της.
Συνάμα έχει ήδη γεμίσει το 1/4 της δεξαμενής από την βρύση Α, που την ανοίξαμε πρώτη.

Άρα, θέλουμε να γεμίσουμε το (75/100)-(1/4)=(75/100)-(25/100)=50/100=1/2 της δεξαμενής με τις δύο βρύσες ανοικτές, δηλαδή γεμίζοντας το 1/144 της δεξαμενής ανά λεπτό. Πόσα λεπτά θα μείνουν ανοικτές μαζί οι βρύσες; Θα μείνουν (1/2)/(1/144)=144/2=72 λεπτά (=1 ώρα και 12 λεπτά).
Οι βρύσες πρέπει να κλείσουν ώρα (10:30)+(1:12)=11:42.

Επαλήθευση :
Η βρύση Α έτρεξε 90+72=162 λεπτά και γέμισε τα 162*(1/360)=162/360 της δεξαμενής.
Η βρύση Β έτρεξε 72 λεπτά και γέμισε τα 72*(1/240)=72/240 της δεξαμενής.
Αυτά πρέπει να έχουν άθροισμα 75/100 (=75%). Και έχουν!
(162/360)+(72/240)=(324/720)+(216/720)=(540/720)=3/4=75/100.

Παρόμοια είναι τα προβλήματα με άδειασμα της δεξαμενής.


Πρόβλημα 05 : Δύο ανόμοια δοχεία νερού

Υπάρχουν δύο δοχεία Α και Β, κενά και χωρίς ενδείξεις, χωρητικότητας 7 λίτρων και 3 λίτρων αντίστοιχα, και απεριόριστη ποσότητα νερού από μια βρύση για να τα γεμίζουμε. Θέλουμε να βρούμε την συντομότερη σωστή σειρά επιτρεπτών χειρισμών, αποκλειστικά και μόνο των δύο δοχείων, ώστε να έχουμε τελικά στο δοχείο Α ακριβώς 5 λίτρα νερού.
Οι επιτρεπτοί χειρισμοί είναι:
(α) πλήρες γέμισμα ενός δοχείου με νερό από την βρύση,
(β) μετάγγιση ποσότητας νερού από ένα δοχείο μέχρι να γεμίσει το άλλο,
(γ) μετάγγιση όλης της ποσότητας νερού του ενός δοχείου στο άλλο, μόνο αν χωράει εκεί,
(δ) πλήρες άδειασμα ενός δοχείου.

Περίπτωση πρώτη, όπου η βρύση έχει απεριόριστα λίτρα (lt) νερού.
Σχόλιο : Εδώ τα γεμίσματα (14 lt) μείον τα αδειάσματα (6 lt) αφήνουν στα δοχεία 8 lt, (το Α έχει 5 lt, το Β έχει 3 lt). Τα 8 βήματα είναι τα ελάχιστα.
ΠρινΠράξηΜετά
(Α=0, Β=0)Βήμα 1. Γεμίζουμε από την βρύση το άδειο Α με 7 lt(Α=7, Β=0)
(Α=7, Β=0)Βήμα 2. Μεταγγίζοντας 3 lt από το Α γεμίζουμε το Β(Α=4, Β=3)
(Α=4, Β=3)Βήμα 3. Αδειάζουμε το Β(Α=4, Β=0)
(Α=4, Β=0)Βήμα 4. Μεταγγίζοντας 3 lt από το Α γεμίζουμε το Β(Α=1, Β=3)
(Α=1, Β=3)Βήμα 5. Αδειάζουμε το Β(Α=1, Β=0)
(Α=1, Β=0)Βήμα 6. Μεταγγίζουμε το 1 λίτρο του Α στο άδειο Β(Α=0, Β=1)
(Α=0, Β=1)Βήμα 7. Γεμίζουμε από την βρύση το άδειο Α με 7 lt(Α=7, Β=1)
(Α=7, Β=1)Βήμα 8. Μεταγγίζοντας 2 lt από το Α γεμίζουμε το Β(Α=5, Β=3)

Περίπτωση όπου η βρύση έχει μόνο 12 lt νερού.
Σχόλιο : Εδώ τα γεμίσματα (12 lt) μείον τα αδειάσματα (7 lt) αφήνουν στα δοχεία 5 lt, (το Α έχει 5 lt, το Β είναι άδειο). Τα βήματα είναι περισσότερα, είναι 10.
ΠρινΠράξηΜετά
(Α=0, Β=0)Βήμα 1. Γεμίζουμε από την βρύση το άδειο Β με 3 lt(Α=0, Β=3)
(Α=0, Β=3)Βήμα 2. Μεταγγίζουμε τα 3 lt του Β μέσα στο Α(Α=3, Β=0)
(Α=3, Β=0)Βήμα 3. Γεμίζουμε από την βρύση το άδειο Β με 3 lt(Α=3, Β=3)
(Α=3, Β=3)Βήμα 4. Μεταγγίζουμε τα 3 lt του Β μέσα στο Α(Α=6, Β=0)
(Α=6, Β=0)Βήμα 5. Γεμίζουμε από την βρύση το άδειο Β με 3 lt(Α=6, Β=3)
(Α=6, Β=3)Βήμα 6. Μεταγγίζοντας 1 λίτρο από το Β γεμίζουμε το Α(Α=7, Β=2)
(Α=7, Β=2)Βήμα 7. Αδειάζουμε το Α(Α=0, Β=2)
(Α=0, Β=2)Βήμα 8. Μεταγγίζουμε τα 2 lt του Β στο άδειο Α(Α=2, Β=0)
(Α=2, Β=0)Βήμα 9. Γεμίζουμε από την βρύση το άδειο Β με 3 lt(Α=2, Β=3)
(Α=2, Β=3)Βήμα 10. Μεταγγίζουμε τα 3 lt του Β μέσα στο Α(Α=5, Β=0)



Πρόβλημα 06 : Ακριβολογίες
Πήγατε στο περίπτερο και αγοράσατε με ένα δίευρο μια απλή εφημερίδα που κόστιζε 1 ευρώ και 30 λεπτά.
Ο περιπτεράς σάς έδωσε ρέστα δύο σύγχρονα μεταλλικά νομίσματα, κανονικές υποδιαιρέσεις του Ευρώ (όχι κάλπικα) συνολικής αξίας 70 λεπτών, αλλά το ένα δεν είναι πενηντάλεπτο. Υπάρχει εξήγηση;

Επίλυση : Κανονικά θα έπρεπε να μη γράψω την λύση. Οι περισσότεροι απαντούν ότι είναι αδύνατον.

Και όμως, υπάρχει εξήγηση : [Είναι το άλλο!]
Μπορεί να το είχατε βρει, ένα πενηντάλεπτο και ένα εικοσάλεπτο είναι η μοναδική λύση. Όμως, αν σας δυσκόλεψε, το πρόβλημα έλεγε [το ένα δεν είναι πενηντάλεπτο], δεν έλεγε [κανένα από τα δύο δεν είναι πενηντάλεπτο].
Τώρα, γιατί το μυαλό μας βάζει παραπανίσια στοιχεία στο πρόβλημα, είναι κάτι που αγνοώ.

Το ίδιο κάνουμε στην Γεωμετρία όταν μας δίνουν απλά [ένα τρίγωνο] και εμείς σχεδιάζουμε ένα [σχεδόν ισοσκελές] ή [σχεδόν ορθογώνιο] τρίγωνο.

Το ίδιο κάνουμε όταν μας δώσουν ένα κύκλο να τον κόψουμε [στα δύο με μια γραμμή] και εμείς τον κόβουμε [σε δύο ίσα κομμάτια με μια κατακόρυφη γραμμή]. (Το έχω δοκιμάσει σε πολλές τάξεις, και έχει πλάκα. Μόνο ο Οβελίξ έκοψε άνισα τα τρία κομμάτια στην τούρτα της Κλεοπάτρας!).

Πρέπει να έχουμε το μυαλό μας καθαρό.

Δεν υπάρχουν σχόλια: